流形上的李导数和 Lie bracket 是基础性的概念，定义曲率是绕不开它的。而且这里东西挺多，把另一篇的都copy过来。 李导数和 Lie bracket 本质是同一个东西，但是从不同方法提出来，需要证明其相等。 给定流形上的两个向量场 X 和 Y （都是切向量场）。李导数 L_XY 是用 X 对...

from collections import namedtuple PData = namedtuple("PData", "p data") #function signature: f(p: int) - & gt; PData def sequential(*fs): def fn(p): q, da...

前尘往事。老MITBBS上做的奥数第三题，做了一个星期，最后还有一个gap，刚想出来，结果老买提down了。新买提上来了把它有个交代。 奥数第三题是这样的：给定正整数k，和一个奇素数集合，该集合中的元素如果排列成一个环路，且任意相邻元素(p,q)之间存在正整数x满足 pq=x^2+x+k 的话，那么该...

前面说了，流形上的外代数，外微分，这一套东西，有了流形上的拓扑和微分结构就能搞，还没有开始研究几何呢。研究流形上的几何，要从给一个度规开始。 给一个度规，流形从局部看就类似一个欧几里得空间，整体看是一个弯曲的空间，想象一个曲面。这实际上是一个自然的研究对象，肯定早就开始研究了。反而向量丛，外微分，这套...

给一个向量空间 V ，over一个域 F ，或者一个环 R 也可以。考虑能不能给它定义一个乘法，这样它就成为一个代数了。 这个问题有点像实数域到复数域的扩展，开始是问能不能解 x^2=-1 ，然后有人说，缺什么补什么，不管三七二十一，先 形式地 定义个 \sqrt{-1} ，然后 \mathbb{R}...

外代数(exterior algebra)首先是代数，也就是一个线性空间外加一个乘法，而外代数对乘法的要求是反交换： x.y=-y.x . 流形上可以有两个外代数，一个是逐点看切空间上的外代数，一个是看整体函数的外代数。 一个 n 维流形 M 。它的切空间，每一点都是一个 n 维的线性空间，over...

Let R be a ring. Let A be an R -algebra. A \textbf{derivation} on A is an R -linear transformation d:A\to A such that d(a.b)=d(a).b+a.d(b) .

一、行内数学表达式 单$限制符： $数学表达式$ 例子： 由此我们得到： k_{n+1} = n^2 + k_n^2 - k_{n-1} ，证毕。 由此我们得到： $k_{n+1} = n^2 + k_n^2 - k_{n-1}$ ，证毕。 注意：行内数学表达式在两个单$限制符外侧都必须有一个半角空格...