流形上的外代数
外代数(exterior algebra)首先是代数，也就是一个线性空间外加一个乘法，而外代数对乘法的要求是反交换： x.y=-y.x.
流形上可以有两个外代数，一个是逐点看切空间上的外代数，一个是看整体函数的外代数。
一个 n 维流形 M 。它的切空间，每一点都是一个 n 维的线性空间，over \mathbb{R}. 每一点上的外代数是什么？well，最好在它的对偶空间上搞，因为这样的话可以和这个切空间上的多线性函数相对应。假设 V=T_xM 是 x 点的切空间， \Omega V 表示 V 上的外代数，就是 V 上的反对称多线性函数 F(...,x,...,y,...) = -F(...,y,...,x,...). 这是个有限维的空间 - 因为这个反对称的限制。这就是每一点上的外代数。
有了每一点上的外代数就有了流形上的外代数丛，也是一个向量空间丛，简称向量丛。可以记为 \Omega (TM). 有了丛就可以有（光滑）函数，叫section，每一点到自己上的纤维，也就是每一点上的外代数，的映射。全部函数放在一起的集合，记为 \Gamma (TM) ，这也是一个外代数，因为它在值域上是一个外代数。
每一点上的外代数是 over \mathbb{R} 的，而总的外代数是 over \{M\to \mathbb{R}\} 的，也就是 M 到 \mathbb{R} 的函数空间这么一个环的。