向量空间上的张量代数和外代数
给一个向量空间 V ，over一个域 F ，或者一个环 R 也可以。考虑能不能给它定义一个乘法，这样它就成为一个代数了。
这个问题有点像实数域到复数域的扩展，开始是问能不能解 x^2=-1 ，然后有人说，缺什么补什么，不管三七二十一，先 形式地 定义个 \sqrt{-1} ，然后 \mathbb{R} 就扩展到了 \mathbb{C} 。
回到这个向量空间 V 。它本来没有乘法，但是我不管三七二十一，先 形式地 定义一个 a.b 。这个东西，不管它是什么，它肯定不在 V 里 - 因为 V 里没有乘法。那你有 a.b 就得有 c.d ，还得有 a.a.b ， a.a.b.c.d... ，这些都得有，另外还得有 a.b+c.d ，等等，因为你要构造一个有乘法有加法的代数嘛。
这样 形式化 构造出来的东西，叫 free algebra，或者 free associative algebra，因为要满足乘法结合律。free是说它没有任何附加条件，比如 x^2=-1 ，这是一个附加条件，所以 \mathbb{R} 到 \mathbb{C} 不是 free 扩展。而我们这里 V 扩展到 一个代数，是纯形式化，无任何附加条件，所以是 free algebra。
V 上的张量代数就是由 V 扩展出来的 free algebra。它是分层级的，两元素乘法的层级，三元素乘法的层级，等等。所以写成 TV=V^0\oplus V^1\oplus V^2... ，对了，假设我们还要求它有单位元，有单位元就得有全部的 F 域， V^0=F 。所以这个全称是 free unital associative algebra。
这是最最 free 的扩展，也可以不那么 free，加点条件，加点限制。比如要求扩展出来之后 a.b=-b.a 。加上这个条件之后，扩展出来的东西就没有张量代数那么大了。相当于张量代数除以某些条件（限制），是张量代数的商空间。这个空间，叫外代数。