流形上的几何：度规，联络，曲率
前面说了，流形上的外代数，外微分，这一套东西，有了流形上的拓扑和微分结构就能搞，还没有开始研究几何呢。研究流形上的几何，要从给一个度规开始。
给一个度规，流形从局部看就类似一个欧几里得空间，整体看是一个弯曲的空间，想象一个曲面。这实际上是一个自然的研究对象，肯定早就开始研究了。反而向量丛，外微分，这套东西，是后来的抽象。而且要小心去除不必要的依赖，比如流形局部以及其切空间同构于欧几里得空间，但是要小心去除度规，因为这一套的发展不依赖于度规。
数学中有很多这样的抽象，教科书的讲解路径和历史发展的路径大不相同。代数理论也是一样。比如群论，这已经是高度抽象了，但是看布尔巴基的书，它是从半群，幺半，开始讲起，讲的是逻辑依赖关系而不是历史依赖关系。逻辑上很爽，历史上会有一些困惑。
这两种讲法也很难调和。数学教科书大部分按逻辑依赖关系来讲。或者这么看：教科书上讲的是一个静态的完成了的理论，而历史发展是一个动态不断变化的路径。要把时间发展的路径讲清楚，那当然难多了。也没有人能完全讲清楚。